报告题目：On a Hamiltonian System Arising From the Planar Convex Geometry

报告人：蒋美跃教授，北京大学

报告时间：2024年11月27日（周三）14:00

报告地点：20-200

报告摘要：In this talk we will investigate  periodic solutions of the following equation:

\begin{equation}

(u'^2+u^2)^{\frac {q-2} 2 }\cdot  (u'' +u)=\frac 1 {u^{p+1}}, \quad x \in\mathbb R

\end{equation} 

with  $q>0$, $p\ge 0$. This is the 2-D version of the dual $L_p$-Minkowski  problem proposed by Huang-Lutwak-Yang-Zhang:

\begin{equation}\label{dlp}

(|\nabla u|^2+u^2)^{\frac {q-n} 2 }\cdot det (\nabla _{ij} u +e_{ij}u)=\frac{\mu}{u^{p+1}},\quad x\in S^{n-1},

\end{equation} 

where $e_{ij}$ is the standard Riemannian metric on $S^{n-1}$, $\mu$ is a finite Borel measure not supported in a closed hemi-sphere. A simple observation is that all solutions of (1) are periodic, and along  a solution $u$, there is a constant $h$ such that

$$ H(u)(x)=\frac q2 (u'^2+u^2)^{\frac q 2}+\frac 1 p \frac 1{u^p}=h, \quad x\in\mathbb R\quad \text{if}  \quad  p\not=0$$

 and

$$ H(u)(x)=\frac q2 (u'^2+u^2)^{\frac q 2}-\log u =h, \quad x\in\mathbb R\quad\text{if} \quad  p=0.$$

Based on B. Andrews's work, we will give a detail analysis of the period $T(h)$ of the solution as a function of $h$. As consequences, uniqueness, multiplicity of $2\pi$-periodic  solutions of (1) and some inequalities related to dual $L_p$-Minkowski problem  will also be discussed.

报告人简介：蒋美跃，北京大学数学科学学院教授，博士生导师。1989年7月于北京大学获理学博士学位，1999年起任北京大学数学科学学院教授，主要研究领域为非线性分析与非线性微分方程，包括哈密顿系统周期解存在性，辛几何中Lagrange子流形相交问题的Arnold猜测，ROF泛函极小问题，1-Laplace算子的特征值问题等。承担多项国家自然科学基金面上项目和重点项目，在国内外重要学术期刊Ann. Inst. H. Poincare Anal.、Manuscript Math.、Calc. Var. Partial Differential Equations、J. Differential Equations、Proc. Roy. Soc. Edinburgh Sect. A等发表过多篇具有国际影响力的论文，也曾作为访问学者在多所国外高校和研究所访问交流。

邀请人：徐甜